دالة مستمرة

الدالة المستمرة أو الدالة المتصلة أو الدالة المتصلة بانتظام[بحاجة لمصدر] (بالإنجليزية: Continuous function)‏ هي دالة رياضية تؤدي فيها تغييرات طفيفة في متغيّر الدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها.[1][2][3] الدالة التي لا تحقّق هذه الخاصّة تدعى (دالة غير مستمرة) أو (دالة منفصلة). بشكل بديهي، فإنّ دالة ما هي مستمرّة إذا استطعنا أن نرسم رسمها البياني بدون رفع القلم عن الورقة، مع أنّ هذا التعريف ليس دقيقًا.

يعتبر موضوع استمراريّة الدوال أحد المواضيع المبدئية والجوهريّة في الطوبولوجيا. في هذه الصفحة، سيكون الحديث عن دالة ذات مصادر وقيم حقيقيّة.

على سبيل المثال، إذا كانت الدالّة تمثّل ارتفاع زهرة ما في الزمن ، فإنّ هذه الدالة مستمرة. في الواقع، فهنالك قول مأثور في الفيزياء الكلاسيكية يقضي بأنّ كل شيء في الطبيعة استمراري (مستمر). وإذا فرضنا أنّ الدالة تمثّل ارتفاع رصيد حساب في البنك في الزمن ، فإنّ قيمة الدالة «تقفز» كلّما تم سحب بعض المال أو إدخاله إلى الحساب، لذا فإنّ هذه الدالّة غير مستمرّة.

لنفرض دالّة معيّنة بمتغيّر واحد تحوّل أعدادًا حقيقية إلى أعداد حقيقية، وأنّ نطاقها هو مجال فاصل ما (كفترة زمنيّة مثلاً)، مثل الدوال و. بالإمكان رسم دالة كهذه في نظام إحداثي ديكارتي؛ وتكون هذه الدالّة دالة مستمرة إذا ما كان رسمها البياني منحنًى واحدًا غير منقطعًا، بدون «ثغرات» أو «قفزات».

التعريف الأدق هو أنّ الدالة هي دالة مستمرة في نقطة معيّنة، ، إذا تحقّقت الشروط التالية:

وتدعى الدالّة دالة مستمرّة إذا تحقّق الشرطان أعلاه لكل نقطة في نطاق الدالّة. بشكل عام، نقول أنّ الدالة مستمرة على مجموعة جزئية من نطاق الدالّة، إذا كانت مستمرّة في كل نقطة في هذه المجموعة. تسمية الدالة بدالة مستمرة تعني بشكل عام أنّ الدالة مستمرة لكل الأعداد الحقيقيّة.

كثيرًا ما يستخدم التدوين أو للدلالة على مجموعة كل الدوال المستمرّة في النطاق . على هذا النمط، فينوّه التدوين إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة والتي مشتقّاتها هي دوال مستمرّة، والتدوين إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة مرّتين والتي مشتّقاتها الثانية هي دوال مستمرّة، وهكذا دواليك.

هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة، وبالإمكان إثبات تكافئ هذه التعاريف، أي أنّه إذا فرضنا أنّ الدالة مستمرّة وفق أحد التعريفات فبالإمكان برهنة استمراريتها وفق التعريفات الأخرى.

بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:

لننظر مجددًا إلى دالّة بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد هو أحد عناصر نطاق الدالّة . تكون الدالّة هي دالة مستمرة في النقطة إذا تحقّق أنّ: لكل ، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد ، بحيث أنّ لكل في نطاق الدالّة الذي يحقّق ، يتحقّق التالي بالنسبة لـ:

وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعات ، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة، ، فإنّ استمراريّة الدالّة في النقطة تعني أنّه لكل ، هنالك يحقّق لكل :

إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار ، مهما كان صغيرًا، لـ، فبالإمكان إيجاد جوار لـ بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.

أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه.

لنفرض دالّتين مستمرّتين، و، إذًا:

خواص أخرى:

قد تكون بعض الدوال مستمرّة من جهّة واحدة فقط، أي من جهّة اليسار أو من جهّة اليمين. وتعرّف الدالّة المستمرّة من اليمين بهذا الشكل: لكل نقطة في نطاق الدالّة، إذا اقتربنا من هذه النقطة من جهّة اليمين فقط، نرى أنّها مستمرّة. من ناحية تعريف كوشي، فإنّه يشبه التعريف الأصلي مع تعديلات بسيطة:

أي أنّ الشرط يتحقّق فقط لجميع النقاط في جوار الذي يقع إلى يمين النقطة . وتعرّف الاستمراريّة من اليسار بطريقة مشابهة، مع تعديل الشرط إلى الشرط التالي:

وتكون الدالة مستمرّة إذا وفقط إذا كانت مستمرّة من اليمين وكذلك من اليسار.

أ. دالة مستمرّة من اليسار؛ ب. دالة مستمرّة من اليمين